Armonías y teoremas
La música está mucho más emparentada con la ciencia de lo que parece. Términos musicales como altura, timbre e intensidad pueden explicarse gracias a los conceptos de la física. Y las proporciones que marcan los intervalos entre las notas tienen su fundamento en la matemática. Además, los modelos matemáticos pueden aplicarse para indagar cómo evolucionan los estilos musicales, entre otros aspectos.
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¿Qué tienen que ver las emociones con las fórmulas y los teoremas? Aunque no lo parezca, la música y la ciencia están relacionadas. De hecho, en la Edad Media, la música, junto con la aritmética, la geometría y la astronomía, formaba parte del Quadrivium (cuatro vías o caminos del saber). Es que las escalas, los acordes y los tonos se basan en proporciones matemáticas. Además, la música es sonido, y éste no es otra cosa que la oscilación del aire; por ello, para explicar cómo se produce, es necesario recurrir a la física.
La física de la música
“El sonido es la ruptura del equilibrio del aire, cuyas partículas se comportan como las piezas del dominó: se mueve una, ésta mueve a la vecina y así sucesivamente se va propagando el sonido”, explica el doctor Ricardo Depine, profesor en el Departamento de Física de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA.
Lo mismo sucede, por ejemplo, con las cuerdas de una guitarra que, al ser pulsadas, producen una oscilación. Al respecto, “hay que considerar la frecuencia de la oscilación, es decir, la cantidad de veces por segundo que esa cuerda va y viene, o pasa por la posición de equilibrio”, agrega Depine.
No cualquier perturbación del aire puede ser percibida por el oído humano. La frecuencia más baja que podemos distinguir es alrededor de 16 hertz (oscilaciones por segundo). La más alta es de aproximadamente 20 mil hertz. Cuanto más baja sea la frecuencia, más grave es el sonido, y viceversa. Cada nota musical posee una determinada frecuencia, por ejemplo, la nota la 440, que se usa como patrón para afinar los instrumentos, tiene una frecuencia de 440 hertz. La frecuencia es lo que en música se conoce como altura.
Más grande igual más grave
Foto: Diana Martinez Llaser
En los instrumentos de cuerda, la diferencia de altura depende de la tensión a la que está sometida la cuerda, su grosor y, en especial, su longitud. Cuanto más larga sea la cuerda, más grave es el sonido. Así, un contrabajo genera notas más graves que una guitarra, y el ukelele, más agudas. Pero en cada uno de estos instrumentos, la altura de la nota depende del lugar del diapasón donde se apriete la cuerda, que es la forma de acortar su extensión.
La relación entre la longitud del objeto vibrante y la altura de las notas se da en cualquier tipo de objeto. Por ejemplo, la extensión del tubo por donde circula el aire en los instrumentos de viento produce diferentes notas. En un flautín, los sonidos son agudos, y en un trombón, más graves.
Lo que hace que una misma nota, con la misma intensidad, sea percibida de manera diferente según el instrumento que la produzca es lo que musicalmente se conoce como timbre, y en física se designa como contenido armónico: es la forma en que oscilan las partículas de aire. Los instrumentos de cuerda frotada (violín, violoncelo, contrabajo, entre otros) producen timbres muy similares entre sí, que se distinguen, por ejemplo, de la trompeta o el saxo.
“El armónico se refiere a los modos normales de vibración. Las cuerdas pueden vibrar en el modo fundamental: la cuerda sube, pasa por el equilibrio, baja. Pero también pueden vibrar –al mismo tiempo– de otros modos, el timbre es la superposición de los diferentes modos”, explica Depine.
La intensidad se refiere a cuán fuerte o débil es un sonido, y en física se corresponde con la amplitud de la oscilación, que se mide en decibeles. Por ejemplo, al pulsar una cuerda, cuánto más se aparta ésta del equilibrio, mayor es la intensidad, aunque la frecuencia sigue siendo la misma. En la partitura se indica con los términos pianissimo, para el volumen más bajo, o fortissimo, para el más alto.
Escalas y proporciones
Al igual que la física, la matemática también tiene mucho para decir sobre la música. De hecho, como señala el matemático Pablo Amster en su libro ¡Matemática, maestro!, la música tiene un gran nivel de abstracción, hace uso de un lenguaje simbólico y un sistema de notación similar a algunos de los que emplean las ciencias formales.
“La matemática aparece en distintos aspectos de la música, como la escala musical, o la teoría de la armonía. Y hay compositores que usan elementos matemáticos para sus obras”, afirma Amster, que es profesor en el Departamento de Matemática de Exactas-UBA, y también es músico.
En la música occidental, los sonidos musicales se basan en un abanico de doce notas, de diferente altura que se ordenan de la más grave (do) a la más aguda (si). Los nombres de las notas se deben a un monje benedictino del siglo XI, Guido d´Arezzo, que utilizó un acróstico, es decir tomó la primera sílaba de cada verso de un poema en latín.
La escala musical se construye a partir de ciertas proporciones existentes entre las frecuencias de las notas. Esta idea fue planteada por Pitágoras, en el siglo VI antes de Cristo. Se cuenta que, al pasar por el taller de un herrero, el sabio percibió que el golpe en el yunque con diferentes martillos generaba sonidos que se combinaban entre sí en forma armoniosa. Intrigado, diseñó experimentos para estudiar los fundamentos matemáticos de la música. Por ejemplo, tensó algunas cuerdas con diferentes pesos en sus extremos y estableció la relación entre la tensión de la cuerda y la producción del sonido. También trabajó con cuerdas de distinta longitud y observó que si una cuerda que suena como do es cortada por la mitad, ésta produce un do más agudo (lo que los músicos llaman: una octava más aguda).
Así, Pitágoras halló que se podía superponer el sonido de una cuerda con el sonido que producía otra igual con la mitad de su longitud, y se obtenían sonidos consonantes (o sea, agradables al oído). También postuló que las distancias entre los cuerpos celestes se disponían según las relaciones de la armonía musical, y que su movimiento producía una música que los seres humanos no podíamos oír.
En la actualidad, las notas musicales no se definen por la longitud del objeto vibrante, sino por la frecuencia de la onda sonora emitida por el objeto. “Cuando se superponen distintos sonidos, éstos suenan bien si la relación entre las frecuencias se expresa mediante fracciones de números enteros y pequeños, por ejemplo, una es el doble de la otra, o el triple”, afirma el doctor Ricardo Durán, profesor en el Departamento de Matemática de Exactas-UBA.
Y agrega: “En un piano, por ejemplo, muchas teclas producen la nota do, empezando por la que se encuentra más a la izquierda, el segundo do tiene el doble de frecuencia, y el tercero, el doble que el segundo, y así sucesivamente”. Pero, si se tocan simultáneamente la tecla del do y la que está justo al lado (la del do sostenido), no suena bien, pues la diferencia entre ambas es una fracción con numerador y denominador grandes. Durán ejemplifica: “La proporción entre las frecuencias de do sostenido y do es 2187/2048, y no se puede simplificar o sea que no se puede escribir como fracción de números chicos”. Otro ejemplo de sonoridad agradable es si se tocan simultáneamente un do y un sol, y la relación entre sus frecuencias es 3/2.
Las distancias entre las notas en la escala se miden en “intervalos”. El que separa el primer do del siguiente do se denomina “octava”. Los intervalos intermedios se establecen de acuerdo con su distancia respecto de la nota inicial. En resumen, la octava se divide en doce partes o semitonos: las siete notas más cinco sostenidos o bemoles. Es la escala dodecafónica.
Para construir la escala partiendo de la frecuencia de una nota, hay que decidir las frecuencias de las notas intermedias entre dos octavas sucesivas (por ejemplo entre el la 440 y el la siguiente, 880). No es sencillo ni hay una única manera, por lo tanto existen varios tipos de escalas. En la actualidad se utiliza la llamada escala temperada, creada por Johann Sebastian Bach en el siglo XVIII, en la que los intervalos entre notas son audiblemente casi idénticos sea cual sea el par de octavas que consideremos. La escala temperada resuelve adecuadamente el problema de trasladar obras entre registros más graves o más agudos: en cualquiera que se ejecute sonará la misma obra.
Matemática, música y sabores
Foto: Diana Martinez Llaser
La matemática puede dilucidar aspectos desconocidos de la música. Por ejemplo, su relación con el sentido del gusto, que ya fue advertida hace algunos siglos. En 1558, el compositor italiano Gioseffo Zarlino describía ciertas consonancias como “dulces” o “suaves”. Asimismo, en el siglo XIX, el francés Hector Berlioz habló de la “pequeña voz ácida” del oboe. Para comprobar si esas asociaciones tenían alcance general, el matemático Bruno Mesz, investigador del Laboratorio de Acústica y Percepción Sonora, de la Universidad Nacional de Quilmes, junto con los físicos Mariano Sigman, investigador en la Universidad Torcuato Di Tella, y Marcos Trevisan, de Exactas-UBA, realizaron una serie de experimentos.
“Investigamos la relación entre la percepción de la música y los sabores”, explica Bruno Mesz. Convocaron a nueve músicos y les solicitaron que produjeran una secuencia de acordes a partir de la asociación libre con los cuatro nombres básicos de los sabores: amargo, salado, dulce y ácido. Se realizaron 24 improvisaciones en un teclado MIDI, que permite registrar cada movimiento. Luego se analizó si había coincidencias significativas entre las melodías y las palabras.
En un segundo experimento, las improvisaciones fueron escuchadas por un grupo de 50 personas, que asociaron cada melodía con alguno de los cuatro sabores”, comenta Mesz.
En total se consideraron nueve dimensiones: consonancia, articulación, intensidad, velocidad, frecuencia, entre otras, y todas eran registradas por el teclado MIDI. El sabor salado se asoció con los sonidos que aparecían más fragmentados, con una melodía discontinua. El ácido, con melodías rápidas y sonidos muy agudos. El amargo: lento, grave y ligeramente disonante. El dulce: armonías consonantes, lentas y suaves.
Los modelos matemáticos también pueden aplicarse para estudiar la evolución de los géneros musicales. Se trata de otro de los objetivos que se planteó Mesz, junto con los matemáticos Pablo Amster, Pablo Pinasco y Pablo Rodríguez Zivic.
“Quisimos ver la influencia mutua de los músicos que, en principio, tienen estilos musicales distintos”, detalla Mesz. Es un modelo abstracto y muy simplificado, que no se alimenta de datos concretos. En él interactúan diversos agentes (los músicos), cada uno con un estilo diferente. A su vez, cada estilo se caracteriza por un rasgo musical, como la frecuencia de determinados acordes. Con el tiempo, los agentes modifican ligeramente sus valores, por nuevas influencias o exploraciones individuales, entre otros motivos.
“Una hipótesis es que, para interactuar, los agentes tienen que estar cerca, es decir, la diferencia entre sus estilos debería estar por debajo de un valor umbral”, indica Mesz. Esta idea da cuenta de que solo aquellos rasgos similares entre la música africana y la europea formaron parte de los procesos de hibridización que dieron origen a géneros como el jazz o el tango.
Por su parte, Pablo Amster comenta: “El tango se forma porque se combinaron elementos de distintas tradiciones, y cambió su carácter cuando se incorporó el bandoneón. Antes era rápido y se tocaba con flauta y violín, y el bandoneón lo transformó en lento y melancólico”.
La física y la matemática han permitido explicar aspectos fundamentales de la música. Pero quedan aún muchas preguntas que la biología seguramente podrá estudiar, como las claves de la percepción y la sensibilidad musical.
Sonidos de buena madera
Para producir sonidos armónicos resultan clave las propiedades físicas de los materiales. Al construir una guitarra, un lutier debe buscar maderas apropiadas para lograr los sonidos esperados.
“Una guitarra de buena calidad puede hacerse con jacarandá en los aros y el fondo; la tapa, con abeto y el diapasón, de ébano”, explica el lutier Rafael Andrés, también excelente carpintero en Exactas-UBA.
Según explica, “la tapa debe ser rígida desde la boca hacia el diapasón, y desde la boca hacia el otro lado debe poder vibrar y eso se logra dándole distintos espesores, por ejemplo, 1,9 mm en los bordes y 2,1 mm en el centro”. La caja de la guitarra funciona como un bombo, al pulsar las cuerdas, vibran la madera y el aire en su interior. “En la cara interna de la tapa se colocan espinetas, varillas de madera que se tallan de acuerdo al sonido que se quiera lograr”, acota.
El agregado de carbono y resina epoxi le dan mayor rigidez a la tapa. “Ahora se usa una estructura, desarrollada por el lutier australiano Greg Smallman, reforzada con un entramado en madera balsa, en forma de rombos, que le da rigidez y es muy liviana”.
El mástil de la guitarra tiene que soportar la fuerza de unos 40 kilogramos que ejercen las cuerdas al estar en tensión. En el diapasón, se insertan los trastes, tiras de metal incrustadas que diferencian los semitonos, e indican dónde apretar la cuerda para obtener las notas.
Para colocar los trastes, según explica Andrés, se necesita hacer cálculos precisos: “Se considera la escala temperada, que divide la distancia entre una nota y su octava en 12 semitonos iguales. Para dividir el largo de la cuerda, se utiliza un factor constante, que es la doceava raíz de 2. El número obtenido se resta al tiro de cuerda, y ese resultado es la distancia desde la cejilla al primer traste, y así hasta completar los veinte trastes”, explica el lutier.
