Matemática del celular al transporte
El grupo de Probabilidad y procesos estocásticos investiga los sistemas de partículas interactuantes que evolucionan en el tiempo. Los investigadores hacen sus aportes a cuestiones tan diversas como redes de comunicación e Internet, redes inalámbricas y redes de transporte.
Un proceso estocástico puede entenderse como el comportamiento de una variable aleatoria a lo largo del tiempo. Dicho así suena complicado y, sin dudas, lo es. Sin embargo, su conocimiento puede aplicarse a actividades tan mundanas como las redes de telefonía inalámbricas, call centers, embotellamientos de tránsito, redes de datos, etcétera.
El grupo de Probabilidad y procesos estocásticos, dirigido por el Dr. Pablo Ferrari e integrado por cinco doctores en matemática, investiga en diversas áreas teóricas y prácticas de la teoría de probabilidades y procesos estocásticos. “Estudiamos lo que se denomina Sistemas de partículas interactuantes que evolucionan en el tiempo”, dice el Dr. Pablo Groisman, integrante del equipo. “Esas partículas o componentes, pueden representar autos, llamadas telefónicas, individuos pasibles de infectarse (o infectados), tareas en una red de servidores, correos electrónicos, genes que mutan, computadoras que tratan de conectarse a una red inalámbrica, etcétera”, explica.
Las partículas interactúan a través de colisiones, saltos o intercambio de posiciones o información. “Nosotros consideramos modelos en donde el tiempo en que ocurren las interacciones y la forma que toman es de naturaleza aleatoria”, comenta Groisman. Cuando la cantidad de componentes es mayor, la complejidad del sistema aumenta y pueden aparecer fenómenos muy variados. “Estamos interesados principalmente en el estudio cualitativo de este tipo de sistemas. Buscamos dar demostraciones matemáticas rigurosas de fenómenos que ocurren a nivel macroscópico”, dice el investigador. Para la matemática, un fenómeno microscópico es el que se puede observar cuando se miran unas pocas partículas. En cambio, uno macroscópico es el que se observa cuando se toma distancia y se mira una cantidad muy grande (infinita) de partículas. “Uno de los fenómenos más impactantes es el de la transición de fase, es decir la existencia de un cambio macroscópico del sistema a partir de una modificación pequeña de las reglas de interacción locales (microscópicas). Por ejemplo, si en una autopista medimos la velocidad promedio de los autos en función del número de autos por kilómetro, vemos que a partir de una cierta densidad, la velocidad de los autos decae bruscamente; es cuando aparecen los embotellamientos”, grafica Ferrari. A los investigadores les interesa saber, justamente, cuándo un cambio que ocurre a nivel microscópico provoca cambios macroscópicos.
El equipo de investigadores conforma un grupo teórico, cuya principal herramienta es el pizarrón, alrededor del cual discuten ideas e intentan demostrar teoremas. Si bien esporádicamente realizan simulaciones en computadoras, no es lo más usual. “Las computadoras no siempre pueden simular con exactitud a estos sistemas. En el mejor de los casos, sólo pueden brindarnos aproximaciones, que no siempre son buenas. Esa es otra de nuestras tareas: determinar qué tan buenas son estas aproximaciones”, dice el científico.
El grupo forma parte del Sistema de Oferta Científica de la Facultad. “Tenemos experiencia en el asesoramiento para dimensionar, controlar y predecir la performance de sistemas de comunicaciones y de información. También podemos brindar asesoramiento para el estudio y la predicción de procesos con componentes aleatorias y otros tipos de modelado estocástico”, afirma Groisman.
Los modelos matemáticos que permiten optimizar el comportamiento de redes y sistemas complejos tienen múltiples aplicaciones. Como se dijo, las redes de comunicación e Internet, redes inalámbricas, redes de transporte, etcétera, son áreas donde los especialistas pueden hacer su aporte. “Nuestra particularidad es que intentamos modelar la componente estocástica o aleatoria de los sistemas. Esto supone una dificultad analítica muy importante, pero es fundamental para que el modelo sea un fiel reflejo de la realidad”, sostienen. Un aspecto esencial de los modelos estocásticos consiste en comprender cómo una decisión tomada en tiempo presente afecta a la evolución futura del sistema, en otras palabras, tomar la decisión que maximiza el beneficio instantáneo puede ser extremadamente ineficiente a largo plazo. Un ejemplo concreto lo proporcionan las comunicaciones inalámbricas celulares. La calidad de comunicación de los usuarios de celulares varía en el tiempo como consecuencia de las interferencias y el movimiento del usuario. Esta característica, llamada diversidad, siempre se consideró una dificultad, porque debía priorizarse siempre la mayor calidad de la comunicación. Sin embargo, para el Dr. Jonckheere “la diversidad es una propiedad que, bien aprovechada, conlleva a un aumento significativo del ancho de banda del canal de comunicación”. Los investigadores han desarrollado algoritmos para la planificación de la transmisión basados en la idea de que la calidad de comunicación instantánea sea buena con respecto a su propio comportamiento estadístico, aun cuando su calidad no sea la mayor entre los usuarios presentes, con los cuales han optimizado la calidad de los sistemas de comunicación.
Grupo de probabilidad y procesos estocásticos (Departamento de Matemática)
2do. piso, Pabellón I. Teléfono: 4576-3335
Director: Pablo Ferrari
Integrantes: Inés Armandariz, Roberto Fernández, Tertuliano Franco, Sebastián Grinberg, Pablo Groisman, Matthieu Jonckheere, Mariela Sued, Leo Rolla.
Tesistas de doctorado: Mateo Astelarra, Analía Ferrari, Julián Martínez, Sergio Lopez Ortega, Santiago Saglietti, Nahuel Soprano Loto, María Eugenia Szretter.
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