Acerca de la forma de los objetos
La Topología Algebraica es una de las ramas de la Matemática que estudia las formas de los objetos. Este grupo de investigación ha incorporado, para el estudio de los problemas topológicos, métodos que vienen de otras ramas de la Matemática, especialmente la Combinatoria.
La Topología Algebraica es una de las ramas de la Matemática de la cual podría decirse, a grandes rasgos, que estudia las “formas de los objetos”. Por ejemplo, algunos de los temas que se investigan en esta disciplina son los métodos o herramientas que permiten analizar si un objeto se puede “deformar” en otro objeto. De esto se trata el trabajo de investigación al que se dedica el grupo de Topología Algebraica dirigido por el Dr. Gabriel Minian.
La Topología Algebraica comenzó a desarrollarse a principios del siglo XX, con los trabajos del matemático francés Henri Poincaré. Desde entonces ha evolucionado en forma constante. “Esta rama de la Matemática tiene fuerte relación con varias (y muy diferentes) especialidades, incluso fuera de la Matemática. Actualmente, hay fuertes conexiones de la Topología Algebraica con la Física, así como también aplicaciones en la computación (por ejemplo en modelización de sistemas concurrentes) y en procesamiento de imágenes”, comenta el Dr. Minian.
Uno de los problemas topológicos que alcanzó gran difusión –entre los matemáticos, por supuesto- fue la llamada Conjetura de Poincaré. Esta conjetura es una de las hipótesis más importantes de la topología; tanto es así, que fue elegida como uno de los Siete Problemas del Milenio, seleccionados por el Clay Mathematics Institute de Cambridge. Sin embargo, es muy difícil de comprender ya que requiere imaginarse cuerpos de más de tres dimensiones. Tras más de cien años sin resolución, la Conjetura de Poincaré pasó a ser llamada Teorema de Poincaré, después de su demostración en el año 2002 por parte del matemático ruso Grigori Perelman.
Pero aun antes, esta conjetura sirvió como motivación a muchos topólogos, quienes, aunque no pudieron probar la conjetura, produjeron grandes avances en el área. Stephen Smale (en 1966) y Michael Hartley Freedman (en 1986) obtuvieron la Medalla Fields, el equivalente al Premio Nobel en Matemática, por sus avances relacionados a esta conjetura. Perelman también obtuvo la Medalla Fields (en el año 2006), por sus ideas innovadoras y concluyentes aportadas para la demostración de la Conjetura de Poincaré. Pero decidió rechazar el premio porque, como él mismo dijo, “cualquiera puede entender que si la prueba es correcta no se necesita ningún otro reconocimiento”.
“Actualmente, nuestro grupo investiga distintos problemas conocidos de la topología, que aún están abiertos”, explica Minian. “Están abiertos desde hace unos 50 años y tienen fuerte relación con la conjetura de Poincaré”, agrega. Los problemas que los investigadores están estudiando están relacionados entre sí, y todavía no se ha encontrado una solución. Son la pregunta de asfericidad de Whitehead, que es un problema abierto desde hace 70 años, la conjetura de Zeeman y la conjetura de Andrews-Curtis.
«La historia de la Conjetura de Andrews-Curtis es un tanto curiosa”, relata Minian. “En los años 60, en un artículo de dos o tres páginas, Andrews y Curtis formularon una conjetura que estaba relacionada con la teoría combinatoria de grupos, una rama de la matemática ligada en cierta forma a la topología. Según explican ellos mismos en el paper que terminó siendo publicado, el referee anónimo que evaluó el artículo, les hizo notar que su pregunta era equivalente a un problema preexistente en topología. Lo que hoy se conoce con el nombre de la Conjetura de Andrews-Curtis es, en realidad, la formulación del referee anónimo”, acota el investigador. “Lo interesante de esta conjetura –agrega- es su estrecha relación con otros problemas de topología y con problemas de teoría combinatoria de grupos.»
Los investigadores del equipo de Minian atacan estos problemas desde un punto de vista absolutamente novedoso: usan herramientas y resultados de los espacios topológicos finitos que han desarrollado en los últimos años.
Un espacio topológico finito es un conjunto finito con una noción de cercanía entre sus elementos. Pero esta noción de cercanía es más sutil que la idea de proximidad dada habitualmente por una distancia entre los puntos. Los espacios finitos pueden usarse para modelar a objetos geométricos conocidos, en los cuales sí hay una noción de distancia entre puntos. Por ejemplo, por medio de «movimientos elementales» en los espacios finitos, que son movimientos que se pueden estudiar combinatoriamente y por medio de programas en una computadora, es posible estudiar propiedades geométricas de los poliedros.
“Con nuestro grupo hemos incorporado, para el estudio de estos problemas topológicos, métodos que vienen de otras ramas de la Matemática, especialmente la Combinatoria. Estas estrategias topológico-combinatorias, que son propias de los espacios finitos, nos permiten atacar los problemas geométricos mencionados anteriormente, y que están estrechamente relacionados con la Conjetura de Poincaré, desde un ángulo completamente nuevo y con una óptica diferente a la clásica”, agrega Minian.
Para la incorporación del cálculo y la computación, los investigadores han desarrollando algoritmos computacionales, bajo la plataforma del software libre SAGE, que les sirven de soporte para su investigación.
Grupo de Topología Algebraica (Departamento de Matemática)
2do. piso, Pabellón I. Teléfono: 4576-3335 Director: Gabriel Minian
Integrantes: Jonathan Barmak
Tesistas de doctorado: Nicolás Capitelli, Manuela Cerdeiro, Ximena Fernández.
Tesistas de posdoctorado: Matías del Hoyo
