Matemática en la frontera
El premio Abel para el argentino Luis Caffarelli puso de relieve la trascendencia de sus estudios en ecuaciones diferenciales parciales no lineales y problemas de frontera libre. Noemí Wolanski, que colaboró asiduamente con el laureado matemático, explica en qué consiste la originalidad de su trabajo y enumera las múltiples disciplinas en las que hoy se aplica.
El matemático noruego Helge Holden, presidente del comité Abel, no pudo explicarlo mejor. Al fundamentar por qué la Academia de Ciencias y Letras de su país le otorgó el premio mayor de la matemática a Luis Caffarelli, dijo que “combinó su brillante conocimiento geométrico con ingeniosas herramientas analíticas” para abrir un camino pionero en un campo de la matemática que cuatro décadas atrás estaba apenas explorado.
“El trabajo de Caffarelli es absolutamente original –dice Noemí Wolanski, doctora en Ciencias Matemáticas, profesora de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales e investigadora del Instituto de Investigaciones Matemáticas ‘Luis A. Santaló’ (UBA-CONICET)–. En general, los matemáticos utilizan en su especulación el bagaje de conocimientos previos en un tema específico. El gran aporte de Luis es haber podido visualizar respuestas que por entonces no aparecían en el menú de soluciones disponible”.
Wolanski hizo su posdoctorado con Caffarelli en la Universidad de Chicago a mediados de los 80 y colaboró luego en varios papers con el laureado matemático argentino. Sus temas son, también, las ecuaciones diferenciales parciales no lineales y los problemas de frontera libre.
El gran aporte de Caffarelli es haber podido visualizar respuestas que por entonces no aparecían en el menú de soluciones disponible.
Noemí Wolanski. Foto: Diana Martinez Llaser. Exactas UBA.,
Desde que Caffarelli ganó el Premio Abel, el 22 de marzo pasado, se ha escuchado decir simplezas tales como que fue reconocido “por descubrir cómo se disuelve un cubito de hielo en un vaso de agua”, figura que el matemático radicado en Austin, Texas, suele utilizar a modo de ejemplo. En esta nota, Noemí Wolanski asume gentilmente el desafío de poner en palabras por qué los hallazgos en matemática aplicada de Caffarelli son hoy la clave para responder cientos de preguntas de la física, la biología, las ciencias sociales o las finanzas.
“Las ecuaciones diferenciales –empieza– sirven para modelar fenómenos de las más diversas disciplinas. La diferencia con las ecuaciones que se aprenden en la escuela secundaria es que la incógnita no es un número sino una función. Estas ecuaciones relacionan a las funciones con sus derivadas, y en ese sentido, permiten analizar esos fenómenos de un modo mucho más completo, eventualmente también predecirlos”.
“Como se trata en general de ecuaciones muy complejas, los matemáticos empezaron primero estudiando las ecuaciones que se llaman lineales. Son lineales porque permiten obtener una solución como la suma de soluciones más sencillas. Sin embargo, hay fenómenos muy complejos en los que aparecen relaciones para las que ese principio de superposición de soluciones no vale, por ejemplo, cuando aparecen turbulencias. Ahora bien, a medida que computacionalmente se pudieron abordar esos fenómenos más complejos, se tornó posible, y necesario, estudiar las ecuaciones no lineales”.
¿Por qué, además de diferenciales y no lineales, se llama a esas ecuaciones parciales? “Porque las incógnitas son funciones de varias variables, por ejemplo, el tiempo y las tres dimensiones del espacio, o si estamos analizando un fenómeno químico, una cantidad extensa de sustancias distintas que se combinan”.
La originalidad de Caffarelli radica, justamente, en sus aportes sobre la regularidad de las soluciones en ecuaciones derivadas parciales.
En este punto, Wolanski historiza la contribución argentina a la cuestión. Primero tuvimos a Alberto Calderón (1920-1998) y su extraordinario aporte a las ecuaciones diferenciales lineales. Caffarelli vino a completar el trabajo con su genio para las no lineales.
“¿Qué es lo que aparece en los problemas no lineales? Aparecen singularidades: la turbulencia en los fluidos, choques, variables que hacen explotar un modelo que vale hasta cierto punto pero que deja de ser válido cuando aparece la singularidad –grafica Wolanski–. El desafío pasa a ser, entonces, entender cuándo se produce esa singularidad, por qué se produce, si se produce o no, y qué es lo que sucede al producirse. Si se extiende exactamente eso, es posible, en consecuencia, quitar esa singularidad del análisis computacional, dejarla aparte”.
“La originalidad de Caffarelli radica, justamente, en sus aportes sobre la regularidad de las soluciones en ecuaciones derivadas parciales. Por ejemplo, un problema sobre el que trabajó mucho fue el flujo de un gas en un medio poroso. Hay gas aquí, gas allá, empiezan a expandirse y, en algún momento, esos dos frentes de gas chocan. ¿Qué pasa? Más allá de las ecuaciones que satisfacen los cálculos sobre la densidad del gas, lo que se busca es saber cómo se propaga, y entender la regularidad de ese choque entre ambos cuerpos. El problema de las regularidades en ecuaciones diferenciales parciales no lineales es también descubrir si realmente no hay singularidades, si realmente las soluciones son regulares”.
Ese recorrido analítico dejó a Caffarelli de cara a otro desafío: los llamados “problemas de frontera libre”. Lo explica Wolanski: “Los fenómenos generalmente no suceden en todo el espacio sino en una región, que tiene un borde, una frontera. Por ejemplo, ocurre un fenómeno en esta habitación, que originalmente está a cierta temperatura, que va cambiando, pero que está influida por lo que pasa en las paredes, si dejan entrar el calor o el frío, cuánto entra, cómo se va modificando la temperatura interior. La ecuación, entonces, depende de lo que pasa en el borde. En este caso, yo puedo saber de qué están hechas estas paredes y calcular cuánto dejan entrar el calor o el frío. Pero hay problemas en los que el borde no se conoce. La frontera es parte del problema”.
En el ejemplo del cubito de hielo, las ecuaciones buscan explicar la forma exacta en que se va a derretir, la evolución de ese borde entre el hielo y el agua del vaso: dos cuerpos que entran en contacto y comparten una frontera cambiante. “Y decimos ‘frontera libre’ en el sentido de que no está fija, que no sabés cuál es. Si vos supieras exactamente cuál es el borde del hielo, podrías calcular exactamente la temperatura en un lado y en el otro, pero ese borde es parte del problema. En cualquier caso, el trabajo de Luis no se ocupa de ese ‘cómo pasa’, que es una cuestión de modelado de la física. Lo que él estudió ya en los 70, cuando en el mundo no se sabía nada de esto, es una cuestión intrínseca del problema, que consiste en explicar la regularidad de esas ecuaciones, y saber, si en ese borde hay singularidades, qué tiene que pasar para que las haya, por qué se producen”.
“Estamos felices”, concluye Wolanski, reflejando el efecto que ha tenido el Abel para Caffarelli en los colegas “del palo” de las “EDPs” (ecuaciones diferenciales parciales), y vuelve a enumerar los merecimientos de un matemático que quizás debió haber sido reconocido mucho antes, con la Medalla Fields, la mayor distinción para los grandes matemáticos sub-40. Y señala cuál puede ser el siguiente mojón en la carrera de Caffarelli: “En los últimos años, él empezó a trabajar mucho en problemas con ecuaciones donde la evolución de las variables no dependen solamente de lo que pasa alrededor, sino también de lo que pasa lejos. Se las llama ecuaciones no locales. La diferencia es que si bien pueden aparecer derivadas, en general son integrales. Una aplicación de esto sería, por ejemplo, como un fluido atraviesa una membrana semipermeable, que permite pasar para un lado pero no para el otro”. La próxima frontera, entonces, en el camino de un matemático extraordinario.
